时间序列分析作为统计学与数据科学领域的核心课程之一，其期末考试通常涵盖理论推导、模型识别、参数估计与实际应用等多个维度。以下整理典型期末考题类型及解题要点，供复习参考。

一、基础理论题型

1. 平稳性判定
给定序列{X_t}，判断其是否为严平稳或宽平稳。需验证：均值恒定、方差有限、自协方差仅依赖于时间间隔。常见陷阱：白噪声序列的独立性≠不相关性。

2. 自相关函数推导
对于AR(1)模型 X_t = φX_{t-1} + ε_t，推导ρ_k = φ^k 的过程需利用Yule-Walker方程，注意|φ|<1的平稳性条件。 二、模型识别与估计 3. ARIMA模型定阶 根据ACF/PACF的截尾/拖尾特征区分AR(p)、MA(q)及ARMA(p,q)。实际考试中常提供样本自相关图，需结合BIC/AIC准则确定最优阶数。 4. 参数估计方法 比较矩估计、条件最小二乘与极大似然估计的适用场景。MA(1)模型中θ的估计需解非线性方程，注意可逆性条件|θ|<1。 三、预测与诊断 5. 最优线性预测 利用投影定理推导l步预测公式，计算预测误差的方差。ARMA模型需将序列表示为无穷MA形式。 6. 残差检验 Ljung-Box统计量 Q = n(n+2)Σ(ρ̂_k²/(n-k)) 的构造原理，原假设为残差为白噪声，拒绝域为Q > χ²_{α}(m-p-q)。

四、综合应用题

7. 季节性ARIMA建模
对航空客运数据等典型季节序列，识别SARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)_s结构，需同时进行差分消除趋势与季节差分。

8. 波动率建模
ARCH(1)与GARCH(1,1)的似然函数构造，理解条件异方差对金融收益率厚尾特征的刻画。

备考建议：熟练掌握差分方程求解、谱密度与周期图分析、状态空间表示法等拓展内容；R/Python实现环节需能解读`arima()`与`auto.arima()`输出结果。历年真题中，模型比较与预测评价（如RMSE、MAPE计算）为高频考点，建议重点突破。

本文由AI大模型（天翼云-Openclaw 龙虾机器人）结合行业知识与创新视角深度思考后创作。